مثال: آیا متقاضی MBA باید یک دوره آمادگی را بگذراند؟
آزمون پذیرش مدیریت تحصیلات تکمیلی (GMAT) برای کلیه متقاضیان برنامه های MBA الزامی است. دوره های مقدماتی متنوعی برای کمک به متقاضیان برای بهبود نمرات GMAT طراحی شده است که از 200 تا 800 متغیر است. فرض کنید که یک نظرسنجی از دانشجویان MBA نشان می دهد که در میان دارندگان نمرات GMAT بالای 650 ، 52٪ یک دوره مقدماتی را گذرانده اند. در حالی که در میان دارندگان نمرات GMAT کمتر از 650 تنها 23٪ یک دوره مقدماتی را گذرانده اند. یک متقاضی برنامه MBA دریافته است که برای ورود به یک برنامه خاص MBA به نمره بیش از 650 نیاز دارد ، اما احساس می کند که احتمال کسب این نمره بسیار کم (10٪ ) است. وی در نظر دارد برای شرکت در یک دوره مقدماتی 500 دلار هزینه کند. او فقط درصورتی که احتمال دستیابی به نمره 650 یا بیشتر دو برابر شود ، حاضر است این کار را انجام دهد. او باید چه کار کند؟

جواب: آسانترین راه برای حل این مشکل ترسیم نمودار درختی است. از نمادهای زیر استفاده خواهد شد:

A: نمره GMAT برابر 650 یا بیشتر باشد

AC: نمره GMAT کمتر از 650 باشد

B: گذراندن دوره مقدماتی

BC: نگذراندن دوره مقدماتی

احتمال دریافت نمره 650 یا بیشتر برابر است با:

P(A) = .10

قانون متمم به ما می دهد:

P(AC ) = 1 − .10 = .90

احتمالات شرطی عبارتند از:

P(B ∣ A) = .52

و

P(B ∣ AC ) = .23

با استفاده از قانون متمم ، احتمالات شرطی زیر را پیدا می کنیم:

P(BC ∣ A) = 1 − .52 = .48

و

P(BC ∣ AC ) = 1 − .23 = .77

ما می خواهیم با توجه به گذراندن دوره مقدماتی ، احتمال دستیابی وی به نمره GMAT 650 یا بیشتر را تعیین کنیم. یعنی باید محاسبه کنیم:

P(A ∣ B)

با استفاده از تعریف احتمال شرطی، داریم:

نه صورت و نه مخرج مشخص نیست. درخت احتمال، مقدار احتمالات را برای ما فراهم می کند:

همانطور که می بینید:

P(A and B) = (.10)(.52) = .052

P(AC and B) = (.90)(.23) = .207

و

P(B) = P(A and B) + P(AC and B) = .052 + .207 = .259

بنابراین

P(A ∣ B) = 0.52 / 0.259 = 0.201

پس با گذراندن دوره مقدماتی ، احتمال کسب امتیاز 650 یا بیشتر در GMAT دو برابر می شود

توماس بیز (Thomas Bayes) برای اولین بار همانطور که در مثال بالا نشان داده شد، از محاسبه احتمال شرطی در قرن 18 استفاده کرد. بر همین اساس ، به آن قانون بیز گفته می شود.

احتمالات P (A) و P (AC) احتمالات پیشین (prior probabilities) نامیده می شوند زیرا قبل از تصمیم گیری در مورد دوره مقدماتی تعیین می شوند. به احتمالات شرطی به دلایلی، احتمالات راست نمایی (likelihood probabilities) گفته می شود. سرانجام ، احتمال شرط P (A ∣ B) و احتمالات شرطی مشابه P (AC ∣ B) ، P (A ∣ BC) و P (AC ∣ BC) احتمالات پسین (posterior probabilities) یا احتمالات تجدید نظر شده (posterior probabilities) نامیده می شوند زیرا احتمالات پیشین، پس از تصمیم گیری درباره گذراندن دوره مقدماتی مورد تجدید نظر قرار می گیرند.

شاید از خود بپرسید که چرا مستقیماً P (A ∣ B) را بدست نیاوردیم. به عبارت دیگر ، چرا از افرادی که دوره مقدماتی را گذرانده اند نظرسنجی نمی کنیم و نمی پرسیم آیا نمره 650 یا بیشتر دریافت کرده اند؟ پاسخ این است که استفاده از احتمالات راست نمایی و قانون بیز به افراد اجازه می دهد احتمالات پیشین خود را تعیین کنند، که سپس می توان در آنها تجدید نظر کرد.

به عنوان مثال ، یک متقاضی دیگر MBA ممکن است احتمال کسب نمره 650 یا بیشتر را با .40 ارزیابی کند. درج احتمالات پیشین جدید، احتمالات زیر را ایجاد می کند:

P(A and B) = (.40)(.52) = .208
P(AC and B) = (.60)(.23) = .138

P(B) = P(A and B) + P(AC and B) = .208 + .138 = .346

P(A 0 B) = 0.208 / 0.346 = 0.601

احتمال دستیابی به نمره 650 در GMAT یا بیشتر به اندازه 50% افزایش می یابد (از 40. به .601).

فرمول قانون بیز

قانون بیز را می توان به صورت فرمولی برای کسانی بیان کرد که رویکرد جبری را به جای درخت احتمال ترجیح می دهند. ما از علامت گذاری زیر استفاده می کنیم. رویداد B رویداد داده شده است و رویدادهای

A1, A2, . . . , Ak

رویدادهایی هستند که احتمالات پیشین برای آنها شناخته شده است. یعنی :

P(A1), P(A2), . . . , P(Ak)

احتمالات پیشین هستند

احتمالات راست نمایی عبارتند از:

P(B | A1), P(B | A2), . . . , P(B | Ak)

و

P(A1 | B), P(A2 | B), . . . , P(Ak | B)

احتمالات پسین هستند ، که نمایانگر احتمالاتی است که ما بدنبال آن هستیم.

فرمول قانون بیز

برای نشان دادن استفاده از فرمول ، مثال قبل را دوباره انجام می دهیم. ما با تعریف رویدادها شروع می کنیم.

A1: نمره GMAT برابر 650 یا بیشتر است

A2: نمره GMAT کمتر از 650 است

B: گذراندن دوره مقدماتی

احتمال ها عبارتند از:

P(A1) = .10

قانون متمم به ما می دهد

P(A2) = 1 − .10 = .90

احتمالات شرطی عبارتند از:

P(B | A1) = .52

و

P(B | A2) = .23

با جایگزینی احتمالات پیشین و راست نمایی در فرمول قانون بیز، موارد زیر بدست می آید:

همانطور که مشاهده می کنید ، محاسبه فرمول قانون بیز همان نتایج درخت احتمال را ایجاد می کند.