مورد استفاده این قانون را پس از بیان قانون بعدی، بررسی می کنیم.

قانون ضرب (Multiplication Rule)

از قانون ضرب برای محاسبه احتمال مشترک دو رویداد استفاده می شود و مبنای آن فرمول احتمال شرطی ارائه شده در بخش قبلی است. یعنی از فرمول زیر

ما قانون ضرب را به سادگی با ضرب هر دو طرف در P (B) بدست می آوریم.

تعریف قانون ضرب

احتمال مشترک هر دو رویداد A و B برابر است با:

P(A و B) = P(B) P(A∣B)

یا در صورت تغییر علامت گذاری:

P(A و B) = P(A)P(B∣A)

اگر A و B رویدادهای مستقلی باشند ، P (A∣B) = P (A) و P (B∣A) = P (B). نتیجه می شود که احتمال مشترک دو رویداد مستقل صرفاً حاصل ضرب احتمالات دو رویداد است. ما می توانیم این را به عنوان شکل خاصی از قانون ضرب بیان کنیم:

قانون ضرب برای رویدادهای مستقل

احتمال مشترک هر دو رویداد مستقل A و B برابر است با:

P(A و B) = P(A)P(B)

مثال: انتخاب دو دانشجو بدون جایگزینی
یک دوره آماری تحصیلات تکمیلی دارای هفت دانشجوی پسر و سه دانشجوی دختر است. پروفسور می خواهد دو دانشجو را به طور تصادفی انتخاب کند تا به وی در انجام یک پروژه تحقیقاتی کمک کند. احتمال اینکه این دو دانشجو انتخاب شده باشند زن هستند؟

جواب: اجازه دهید A نشان دهنده رویدادی باشد که اولین دانشجوی انتخاب شده زن است و B نشان دهنده رویدادی است که دانشجوی دوم انتخاب شده نیز زن است. ما احتمال مشترک را می خواهیم
P (A و B) در نتیجه ، قانون ضرب را اعمال می کنیم:

P(A و B) = P(A)P(B∣A)

از آنجا که 3 دانشجوی دختر در یک کلاس 10 نفره وجود دارد ، احتمال اینکه اولین دانشجوی دختر انتخاب شود ، برابر است با:

P(A) = 3/10

پس از انتخاب دانشجوی اول ، فقط نه دانشجو باقی مانده است. با توجه به اینکه اولین دانشجوی دختر انتخاب شد ، تنها دو دانشجوی دختر باقی مانده اند. نتیجه می شود که:

P(B∣A) = 2/9

بنابراین ، احتمال مشترک برابر است با:

P(A and B ) = P(A)P(B∣A) = (3/10) (2/9) = 6/90 = 0.067

مثال: انتخاب دو دانشجو با جایگزینی

به مثال قبل مراجعه کنید. استادی که دوره را تدریس می کند به آنفولانزا مبتلا شده است و برای دو کلاس در دسترس نخواهد بود. جایگزین استاد دو کلاس بعدی را آموزش می دهد. سبک او انتخاب یک دانشجو به طور تصادفی و انتخاب او برای پاسخگویی به سؤالات در آن کلاس است. احتمال اینکه این دو دانشجوی انتخاب شده دختر باشند چقدر است؟

جواب: شکل سؤال همانند مثال قبل است: ما می خواهیم احتمال انتخاب دو دانشجوی دختر را محاسبه کنیم. با این حال ، آزمایش کمی متفاوت است. اکنون امکان انتخاب دانشجوی یکسان در هر دو کلاس تدریس شده توسط جایگزین وجود دارد. بنابراین ، A و B رویدادهای مستقلی هستند و ما قانون ضرب را برای رویدادهای مستقل اعمال می کنیم:

P(A and B) = P(A)P(B)

احتمال انتخاب دانشجوی دختر در هر دو کلاس یکسان است؛ به این معنا که،

P(A) = 3/10 و P(B) = 3/10

بنابراین

P(A and B) = P(A)P(B) = (3/10) (3/10) = 9/100 = 0.09

قانون جمع (Addition Rule)

قانون جمع ما را قادر می سازد تا احتمال اجتماع دو رویداد را محاسبه کنیم.

تعریف قانون جمع

احتمال وقوع رویداد A یا رویداد B یا هر دو برابر است با:

P(A یا B) = P(A) + P(B) − P(A و B)

اگر مثل اکثر دانشجویان باشید ، تعجب می کنید که چرا ما احتمال مشترک را از جمع احتمالات A و B کم می کنیم. برای درک اینکه چرا این کار ضروری است، جدول مثال های قبلی را بررسی کنید ، که ما در اینجا بازتولید کرده ایم:

این جدول خلاصه ای از نحوه محاسبه احتمالات حاشیه ای را بیان می کند. به عنوان مثال ، احتمال حاشیه ای A1 و احتمال حاشیه ای B1 چنین محاسبه شد:

P(A1) = P(A1 و B1) + P(A1 و B2) = .11 + .29 = .40
P(B1) = P(A1 و B1) + P(A2 و B1) = .11 + .06 = .17

اگر اکنون سعی کنیم با جمع کردن احتمالات آنها ، احتمال اجتماع A1 و B1 را محاسبه کنیم ، در می یابیم

P(A1) + P(B1) = .11 + .29 + .11 + .06

توجه داشته باشید که ما احتمال مشترک A1 و B1 (که .11 است) را دو بار جمع کردیم. برای اصلاح شمارش مضاعف ، احتمال مشترک را از مجموع احتمالات A1 و B1 کم می کنیم. بدین ترتیب،

P(A1 یا B1) = P(A1) + P(B1) − P(A1 و B1)

= [.11 + .29] + [.11 + .06] − .11

= .40 + .17 − .11 = .46

این احتمال اجتماع A1 و B1 است که در مثال قبل محاسبه کردیم.

همانطور که در قاعده ضرب صورت گرفت ، شکل خاصی از قانون جمع وجود دارد. هنگامی که دو رویداد دو به دو منحصر به فرد باشند (به این معنا که این دو رویداد نمی توانند با هم اتفاق بیفتند) ، احتمال مشترک آنها 0 است.

قانون جمع برای رویدادهای دو به دو منحصر به فرد

احتمال اجتماع دو رویداد دو به دو منحصر به فرد A و B برابر است با:

P(A یا B) = P(A) + P(B)

مثال: به کارگیری قانون جمع
در یک شهر بزرگ ، دو روزنامه منتشر می شود. ادارات تیراژ گزارش می دهند که 22٪ از خانوارهای شهر مشترک روزنامه اول و 35٪ مشترک روزنامه دوم هستند. یک بررسی نشان می دهد که 6٪ از کل خانوارها مشترک هر دو روزنامه هستند. چه نسبتی از خانوارهای شهر مشترک هر یک از دو روزنامه هستند؟

جواب: ما می توانیم این سوال را اینگونه بیان کنیم که احتمال انتخاب تصادفی یک خانوار که مشترک روزنامه اول، روزنامه دوم یا هر دو باشد، چقدر است؟ روش دیگر، پرسیدن این سوال است: احتمال اینکه یک خانوار به تصادف انتخاب شده مشترک حداقل یکی از دو روزنامه ها باشد، چقدر است؟ اکنون مشخص است که ما به دنبال احتمال اجتماع هستیم و باید قانون جمع را به کار بگیریم. اجازه دهید

A = خانوار مشترک روزنامه اول باشد

و B = خانوار مشترک روزنامه دوم باشد.

ما محاسبه زیر را انجام می دهیم:

P(A or B) = P(A) + P(B) − P(A and B) = .22 + .35 − .06 = .51

احتمال اینکه یک خانوار به طور تصادف انتخاب شده، مشترک حداقل یکی از دو روزنامه باشد، .51 است. اگر به صورت فراوانی نسبی بیان کنیم، 51 درصد از خانوارهای شهر مشترک حداقل یکی از دو روزنامه هستند.