مثال1: آزمایش: پرتاب یک سکه

نتایج: شیر و خط

مثال2: آزمایش: ثبت نمرات امتحان درس آمار

نتایج: اعدادی بین 0 و 20

مثال3: آزمایش: ثبت نمرات توصیفی امتحان درس آمار

نتایج: A, B, C, D

مثال4: آزمایش: ثبت ارزیابی دانشجویان درباره یک دوره آموزشی

نتایج: ضعیف، نسبتا خوب، خوب، خیلی خوب و عالی

مثال5: آزمایش: اندازه گیری زمان مونتاژ یک کامپیوتر

نتایج: اعداد بزرگتر یا مساوی 0

مثال6: آزمایش: ثبت رأی یک رأی دهنده در انتخابات آتی

نتایج: الف، ب، ج ...

اولین مرحله در تعیین احتمال، ایجاد فهرستی از نتایج است. نتایج فهرست شده باید حتما کامل (exhaustive) باشند که این یعنی فهرست باید حتما شامل تمام نتایج ممکن باشد. به علاوه، نتایج باید حتما دو به دو منحصر (mutually exclusive) به فرد باشند، که این یعنی هیچ دو نتیجه ای نمی توانند در یک زمان رخ دهند.

برای بیان مفهوم کامل بودن نتایج، فهرست نتایج پرتاب یک تاس (the toss of a dice) را در زیر ملاحظه نمایید: 1 2 3 4 5

این لیست کامل نیست، زیرا عدد 6 را فراموش کرده ایم.

مفهوم دو به دو منحصر به فرد بودن را می توان با فهرست کردن نتایج به شکل زیر ملاحظه کرد:

16-20 14-16 12-14 10-12 0-10

اگر این فاصله ها شامل هر دو حد پایین و بالا (lower and upper limits) باشد، پس این نتایج دو به دو منحصر به فرد نخواهند بود، زیرا ممکن است دو نتیجه برای یک دانشجو رخ دهند. برای مثال، اگر دانشجویی نمره 14 بگیرد، نتایج سوم و چهارم با هم رخ می دهند.

توجه نمایید که می توان بیش از یک لیست از نتایج کامل و دو به دو منحصر به فرد ایجاد کرد. برای مثال، فهرست دیگری از نتایج را می توانید در زیر ملاحظه نمایید:

قبول رد

لیستی از نتایج کامل و دو به دو منحصر به فرد، فضای نمونه ای (sample space) نامیده می شود و با S نشان داده می شود. نتایج با O1, O2, . . . , Ok نشان داده می شوند.

فضای نمونه ای (Sample Space)

یک فضای نمونه ای برای یک آزمایش تصادفی، فهرستی از تمام نتایج ممکن آزمایش است. این نتایج باید حتما کامل و دو به دو منحصر به فرد باشند.

با استفاده از نماد گذاری، فضای نمونه ای و نتایجش را چنین نمایش می دهیم:

هنگامی که یک فضای نمونه ای آماده شد، کار اختصاص احتمالات به نتایج را شروع می کنیم. سه راه برای اختصاص احتمال به نتایج وجود دارد و دو قانون زیر بر احتمالات حاکم است:

الزامات احتمالات

با توجه به فضای نمونه ای S، احتمالات مختص نتایج باید حتما دو الزام را تأمین نماید:

1. احتمال هر نتیجه باید حتما بین 0 و 1 قرار گیرد؛ به این معنا:

برای هر i

توجه نمایید که P(Oi) نمادی است که برای نمایش احتمال نتیجه i استفاده می کنیم.

2. مجموعه احتمالات تمام نتایج در یک فضای نمونه ای، باید حتما 1 باشد. به این معنا:

سه رویکرد در تخصیص احتمال

1. رویکرد کلاسیک (classical approach): این رویکرد توسط ریاضی دانان استفاده می شود تا در تعیین احتمال مربوط به بازی های شانسی کمک نماید. برای مثال رویکرد کلاسیک بیان می دارد که احتمال های شیر و خط در پرتاب یک سکه سالم متعادل با هم برابر هستند. از آنجا که مجموع احتمال ها باید حتما 1 باشد، احتمال شیر آمدن و احتمال خط آمدن، هر دو 50% است. به طور مشابه، شش نتیجه محتمل در پرتاب یک تاس سالم متعادل، احتمال یکسانی دارند؛ احتمال هر کدام 1/6 است. در بعضی آزمایش ها لازم است راه های ریاضی برای شمارش نتایج ایجاد کرد. برای مثال، برای تعیین احتمال برنده شدن در یک قرعه کشی، لازم است تعداد ترکیبات ممکن را تعیین نماییم.
2. رویکرد فراوانی نسبی (The relative frequency approach): این رویکرد احتمال را به عنوان فراوانی نسبی بلند مدت رخ دادن یک نتیجه تعریف می نماید. برای مثال، فرض نمایید ما می دانیم که از 100 دانشجوی درس آمار، 20 نفر نمره الف گرفته اند. پس فراوانی نسبی نمره الف 20/100 یا 20% است. این رقم برآوردی از احتمال کسب نمره الف در این درس را ارائه می نماید. البته این فقط یک برآورد است، زیرا رویکرد فراوانی نسبی، احتمال را به عنوان فراوانی نسبی بلند مدت تعریف می کند. آن 100 دانشجو در بلندمدت حضور ندارند. هر چه تعداد دانشجویانی که نمرات آنها را مشاهده می نماییم بشتر باشد، برآورد بهتر خواهد شد. از نظر تئوریک، می بایست تعداد بی نهایت نمرات را مشاهده نماییم تا احتمال دقیق، مشخص شود.
3. رویکرد ذهنی (subjective approach): وقتی که استفاده از رویکرد کلاسیک منطقی نباشد و تاریخچه ای از نتایج هم وجود نداشته باشد، گزینه ای جز به کارگیری رویکرد ذهنی نداریم. در این رویکرد، احتمال را تحت عنوان درجه اعتقادمان به رخ دادن یک رویداد تعریف می کنیم. یک مثال عالی در زمینه سرمایه گذاری است. یک سرمایه گذار تمایل دارد تا احتمال افزایش قیمت یک سهم خاص را بداند. با استفاده از رویکرد ذهنی، او تعدادی از عوامل (factors) مرتبط با سهم و بازار سهام را به طور کلی تحلیل می کند و بااستفاده از قضاوت خودش، احتمالی را به نتایج مورد علاقه اختصاص می دهد.

رویدادها (Events)

یک نتیجه منحصر به فرد از یک فضای نمونه ای، یک رویداد ساده (simple event) نامیده می شود. تمام رویدادهای دیگر، از رویدادهای ساده در فضای نمونه ای ساخته می شوند.

تعریف رویداد

یک رویداد، گروه یا مجموعه ای از یک یا چند رویداد ساده در یک فضای نمونه ای است.

برای مثال، می توانیم رویداد را کسب نمره الف تعریف نماییم، یعنی شامل مجموعه اعداد بین 16 و 20 . با استفاده از نماد مجموعه چنین داریم:

احتمال رویدادها (Probability of Events)

اکنون می توان احتمال هر رویداد را تعریف کرد.

تعریف احتمال هر رویداد

احتمال یک رویداد، برابر مجموع احتمالات رویدادهای ساده تشکیل دهنده آن رویداد است.

برای مثال، فرض کنید از روش فراوانی نسبی برای تعیین احتمال به رویدادهای ساده به روش زیر استفاده کرده ایم:

P(الف)=0.20

P(ب)=0.30

P(پ)=0.25

P(ت)=0.15

P(ث)=0.10

احتمال رویداد قبول شدن در درس آمار چنین خواهد بود:

P(قبول شدن در درس آمار) = P(الف)+P(ب)+P(پ)+P(ت) = 0.20+0.30+0.25+0.15 = 0.90

تفسیر احتمال

فرقی نمی کند از چه روشی برای تعیین احتمال استفاده کرده باشیم. در هر صورت، آن را با استفاده از رویکرد فراوانی نسبی و برای تعداد نامحدود آزمایش تفسیر می کنیم.

برای مثال، فرض کنید یک سرمایه گذار با استفاده از رویکرد ذهنی دریافته است که با احتمال 65%، قیمت یک سهم خاص در ماه آینده افزایش خواهد یافت. اما عدد 65% را چنین تفسیر می کنیم که اگر به تعداد نامحدودی سهام با ویژگیهای اقتصادی و بازاری دقیقا یکسان با سهم مد نظر این سرمایه گذار داشته باشیم، قیمت 65% آنها در ماه آینده افزایش خواهد یافت.

به طور مشابه، می توانیم مشخص کنیم که احتمال پرتاب عدد 5 در یک تاس سالم برابر 1/6 است. اگرچه برای تعیین این احتمال، از رویکرد کلاسیک استفاده کرده ایم، این عدد را به عنوان نسبت دفعاتی در نظر می گیریم که عدد 5 در تعداد پرتاب های بی نهایت یک تاس سالم مشاهده شده است.

رویکرد فراوانی نسبی در تفسیر عبارت های احتمالی رایج در هواشناسی و ... مفید است. همچنین از این طریق، در استنباط آماری، جامعه و نمونه آماری را به هم متصل خواهیم کرد.